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          動態光散射檢測電機轉速的互信息函數分析

          點擊次數:1409 發布時間:2016-01-13

          動態光散射檢測電機轉速的互信息函數分析

          王沙,楊志安,任中京

          (濟南大學理學院,濟南250022)

          摘要:通過計算互信息函數,對動態光散射得到的電機轉速的時間序列進行了分析。研究表明,互信息函數法能 準確地測出電機轉速。同時,由于互信息函數自身的優點-能實際地反映出數據之間的相互關聯,因此,與自相關函 數法比較,互信息函數法可反映出更多的動力學信息。對實驗數據的時間序列作了二維的相空間重構,從重構圖形發現 系統有2周期行為,并呈現有一些新現象。

           關鍵詞:光學測量;互信息函數;動態光散射;自相關函數;相空間重構

          1引言

          本文利用互信息函數對動態光散射法測電機轉 速的實驗進行了研究,準確測出了電機的轉速。本 文對實驗數據的時間序列作了二維的相空間重構, 發現了一些新的現象并進行了討論。這些結果是以 往自相關函數法[1]分析中所沒有的,文中比較了互 信息函數法與自相關函數法[2]兩種方法的優劣。

          2原理

          Shannon的信息理論,設S表示組訊號為 S1 , S2 ,,Sn的系統,出現Si的概率是Ps(nJ , i = 1, 2,, n。對另一組訊號為q , qi,  qn的系統Q , qj的概率是Pq(qj) ,j = 1 ,2 , n。q同時出 現的概率是Psq (Si, qj)?;バ畔⒌亩x為:

           

          I(S, Q)度量的是變量SQ之間的一般性關聯程 ,或比值Psq(Si, qj) / Ps(Si) Pq(qj)的整體不平整 程度?;バ畔⒃酱?/span>,變量SQ之間的關聯程度越強,系統的不平整程度越高,系統越不均勻;互信息 越小,變量SQ之間的關聯程度越弱,系統的不 平整程度越低,系統越均勻。

          在光子互信息法檢測電機轉速的實驗研究中, 主要關心的是測量數據隨延遲時間T的周期性, 而得出電機的轉速。在計算中對某給定的延遲時間 T,[s, q] = [x (t) , x (t + T)],這時互信息 I 延遲時間T的函數。

          因為電機轉動是周期性的動力系統,其狀態隨 時間的演化可表示成s = x(T) = sint,則延遲坐標可表示成q = x (t + T) = sin(t + T) ,其中T是延遲時間。當延遲Ti = 0,q = x (t + T) = sin(t + 0) = sin t,這時sq是同一變量,sq間的關聯zui ,這時I( Ti;取極大值。設系統周期是r,h = t ,q = x (t + t) = sin (t + t) = sin t,使互信肩、 I(T2)又取極大值,則兩個極大點之差乃Ti = t 即為系統的周期。所以只要找出互信息I的兩個相 鄰極大值所對應的極大點TiT2 ,其差值丁 = T2 -Ti就是系統的周期。當周期t確定后,就可求出 轉速。另外利用由互信息I( T)的極大值來確定周 ,易于辨別和計算。

          3互信息的計算。

          互信息I(S , Q)的計算可用等間距劃分空間格子的方法進行由給定的延遲時間T得到(s’q),作出s , q)平面,(s’q)平面上重構出圖形(例如 后面的重構圖7) ,再在圖形上對欲求互信息I(S , Q)所需的點集區域劃出矩形框A。^As 向的長度,AqAq方向的長度,然后把A再等間 距地劃分成小格子e。方向小格子的長度記為&s’s 方向小格子的數目為M,所以As = Mes。同理,q 向小格子的長度記為eq, q方向小格子的數目為Mf,A = M,eq。在A中小格子e的總數為M X m'。 (a , b)是所劃格子A的起始點,對米樣點(s,q) 作下述判斷:

          若滿足

          表明(s,q)在小格子ei中就進行一次記錄,直到 將所有的數據點全部搜尋一遍,記錄落入標號為(i j)的小格中所有的數據點同時記錄落入范圍 i - 1i內的點數Ns,和從j - 1j內的點數 Nq,即可得到,Psq (si qj) = Nsq/ Ntotal , Ps (si)= Ns/ Ntotal ’ Pq ( qj) = Nq/ Ntotal ’ 其中 Ntotal 是全部采 樣點數。將Psq、q代入公式1) 就可求出在給 定延遲時間T值下的互信息值I(S Q) [47]。

          在測電機轉速的實驗中,由于電機所帶動的轉 動圓盤不是完全均勻的,在轉動的過程中,從其上面 散射的光就會呈現周期性。我們首先用探測器來接 收這些散射光,得到散射光的時間序列;其次編制出 計算互信息的程序,計算出給定延遲時間T值下的

          互信息值I( T) ,得出互信息函數曲線;zui后利用互 信息函數曲線,求出轉動的周期性,從而求出轉速。

          4實驗裝置

          實驗系統如圖1所示。

           

          1實驗系統結構示意圖

          取樣點處的光子數隨時間的變化

           

          3對實驗數據的互 信息處理I-t圖)

          用直流電 動機帶動圓盤 轉動,電機轉速 可調。圓盤散 射的光經過兩 個光闌及透鏡圖2 的會聚由光電 倍增管接收,:,

          把光電數字信 號進行互信息 處理,就得出互 信息曲線。

          在一定的 測量時間內,米 集的光子數隨

          時間變化的曲線如圖2所示。從圖3可以看出互信息處理周期變化的信號顯現了出來。

          5由實驗數據計算電機轉速

          對電機施加不同電壓電機得到不同轉速。采集 某一轉速下隨時間變化的光子數用自編軟件對采 集到的數據計算互信息函數。對確定的延遲時間T, 得到相應的互信息//對不同的延遲時間r,得到 不同的互信息值,可得到互信息的函數曲線。分析互信息函數欠曲線的周期特性,可計算出相應的轉速。

          對一組數據的互信息曲線(如圖3)進行相應轉速計算:由互信息極大點可知圓盤轉動周期為25 *2ms,轉速

          n =60/ (25 X2 X10"3) = 1200(r/min)

          所得結果與文獻[2]所用的自相關函數(R表示)

           

          4同一組實驗數據的自相關函數圖(R-t

          見圖4)所計算出的電機轉速相同。這說明把互信 息函數法應用于動態光散射測電機轉速的實驗中, 是可行的。

          6相空間時間延遲重構原理

          對時間序列進行動力學分析的一個前提,是必 須有一個可用于工作的相空間。由于不知道系統的 動力學方程或模型,而且從實際測量中僅能得到一 個單標量的時間序列,因而從這個單標量的時間序 列重構相空間,就成為時間序列分析的基礎之一。

          相空間重構的方法有多種,zui常用的是 Packard[5]等人提出的時間延遲坐標的思想,重構出 所觀測到的動力系統的相空間。他們指出,對一組 觀測標量s (1) ,s(2) s ( n)中的某個值s ( n) 得到延遲T時刻后的測量值s(n + T) 然后使用這 種時間延遲的集合構造出一個d維矢量

          x (n) = [s (n),s (n + T) ,s (n + 2 T) , ….., x(n + (d - 1) T)]

          式中T為時間延遲;d為嵌入維。相空間重構的結 果應保留原系統的動力學性質和幾何性質,這要求 重構變換是嵌入,這一點可由Takens[6]定理保證。 這時,這個矢量包含了原始的實際變量的動力學信息,這樣就重構出了所需要的相空間。

           

          7對實驗數據的二維重構

          Taken定理給出的僅是嵌入的充分條件,為了計算互信息,只需對系統進 行二維重構即 可。采集另一 轉速下電機的 一組實驗數據 進行二維重 ,延遲時間 T1取到 140,計算出互 信息值相應 的互信息函數 曲線是圖5, 應的自相關曲線見圖6。

           

          從這組數據測出的電機轉速:由兩個互信息相 鄰極大值的間隔可知電機旋轉周期為13 X2ms, 轉速 n = 60/ (13 X2 X10-3) = 2307. 7r/min。從這 組數據的自相關函數圖6可明顯看出,自相關把噪 聲抹平了,能很好地提取出系統的周期信號。而互 信息函數能反映出更多的動力學信息,由于噪聲或 其他細節的干擾,周期性減弱,但仍能從兩個相鄰的 互信息極大值判斷出系統所具有的周期特性。

          選取幾個延遲時間,做出二維重構圖如圖7(a)- (e) 。

          T = 51 ,89兩個互信息極大點處作出的重構圖[如圖7 (a) , (e)]。

          7對一組實驗數據的相空間二維重構圖

          軌道基本上擠壓在主對角線上,這時失真zui大,關聯zui強。這個結果表明,所討 論的系統是確定論的系統。當互信息處于相對較小值的點上做出的重構圖,軌道開始展開。當互信息取極小值時,重構圖軌道整體展開到zui大[如圖7 (b) ,(c)]。當T由小逐漸變大的過程中,軌道隨著互信息值的增大而展開,隨著互信息值的減小而壓縮;軌道隨著互信息值的再增大而再展開,隨著互信 息值的再減小而再壓縮,不斷重復此過程。這說明系統的動力學有周期性,互信息函數刻畫了這種周期規律。

          從圖7(b)中可以明顯看出,重構的曲線繞了兩 圈后與自身重合,這反映了系統具有二周期特性,即 系統整體有一個大周期,里面還套著一個小周期。 這個結果表明,系統除了有整體的轉動周期外,還有 因測試對象不是理想的轉動,如電機本身的不均勻, 及測試對象不光滑,此外還有環境及噪聲等其它因 素引起的附加的周期和非周期行為。

          7(c)的重構圖與圖7(b)的重構圖有明顯的 區別,圖7(b)中只有正向轉動的行為,而圖7(c) 除了有正向轉動的行為外,還有逆向轉動的部分。

          另外它們的拓撲不同,主要表現在圖7(c)中有兩個 交叉點,而圖7(b)中只有一個交叉點。這些結果反 映出,在電機轉動這一簡單的實驗中,包含有復雜的 動力學內容。但是這種逆向轉動的原因,及不同的 拓撲所包含的物理意義還不清楚,有待進一步研究。

          8總結

          本文將互信息函數應用于動態光散射檢測電機 轉速的研究,準確地測出電機轉速,這一結果與自相 關函數法的結果一致。并且互信息函數法是真正意 義上的相互關聯,可得到更多系統的動力學信息,這 些信息常常被淹沒于噪聲中。

          同時,本文將相空間二維重構應用于動態光散射檢測電機轉速的研究中,從相空間重構圖中可以 得出許多的動力學信息,比如系統的二周期性,實驗 受外界的噪聲干擾等。這些現象有待進一步研究。

           

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